Question

18．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且椭圆上点到椭圆C左焦点F₁距离的最小值为$\sqrt{2}-1$．
（1）求C的方程；
（2）若B₂为上顶点，F₂为右焦点，则求∠B₂F₁F₂的度数．

Answer 1

分析 （1）椭圆的离心率和椭圆上点到椭圆C左焦点F₁距离的最小值为$\sqrt{2}-1$，列出方程组，求出a，c，由此能求出椭圆方程．
（2）设椭圆的中心为O，由椭圆性质推导出△B₂F₁F₂，由此能求出∠B₂F₁F₂的度数．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
且椭圆上点到椭圆C左焦点F₁距离的最小值为$\sqrt{2}-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-c=\sqrt{2}-1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=a²-c²=2-1=1．
∴$椭圆C的方程为\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．（6分）
（2）设椭圆的中心为O，
∵|OF₁|=c=1，|OB₂|=b=1，
∴△B₂F₁O为等腰直角三角形，∴∠B₂F₁O=45°，
∴∠B₂F₁F₂=∠B₂F₁O=45°．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．