Question

7．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2-|x-2|}，}&{x∈[0，4]}\\{\frac{1}{2}f（x-4），}&{x∈（4，+∞）}\end{array}\right.$，若x＞0时，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [4$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [3$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函数与方程的关系求出函数f（x）的表达式，作出函数f（x）与g（x）=$\frac{m}{x}$的图象，利用数形结合建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：当0≤x≤4时，函数f（x）在[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，
则当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=$\sqrt{2}$，
当4≤x≤8时，0≤x-4≤4，
即f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-4）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2-|x-6|}$，此时的最大值为f（6）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当8≤x≤12时，4≤x-4≤8，
即f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-4）=$\frac{1}{4}$$\sqrt{2-|x-10|}$，此时的最大值为f（10）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
作出函数f（x）的图象如图，要使当x＞0时，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，
则m＞0，
设g（x）=$\frac{m}{x}$，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤g（2）}\\{f（6）≤g（6）}\\{f（10）≤g（10）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}≤\frac{m}{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{m}{6}}\\{\frac{\sqrt{2}}{4}≤\frac{m}{10}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2\sqrt{2}}\\{m≥3\sqrt{2}}\\{m≥\frac{5\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，即m≥3$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与不等式的关系，转化为两个函数的大小关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．