Question

12．吉安市某校的甲乙两名同学在6次数学竞赛辅导测试中的成绩统计如图的茎叶图所示：
（1）现要从中选派一人参加全国高中数学联赛初赛，利用你学过的统计学知识，你认为哪位学生参加更合适，请说明理由；
（2）若将频率视为概率，对学生乙在今后的四次数学竞赛辅导测试中的成绩进行预测，记这四次成绩中不少于86分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图分别求出$\overline{{x}_{甲}}$，$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$，${{S}_{乙}}^{2}$，由$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}＞{{S}_{乙}}^{2}$，得到乙学生参加更合适．
（2）由已知得ξ取值为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）由茎叶图得：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{76+78+84+85+90+91}{6}$=84，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{78+82+83+85+86+90}{6}$=84，
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（76-84）²+（78-84）²+（84-84）²+（85-84）²+（90-84）²+（91-84）²]=31，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（78-84）²+（82-84）²+（83-84）²+（85-84）²+（86-84）²+（90-84）²]=$\frac{41}{6}$，
$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}＞{{S}_{乙}}^{2}$，
∴乙学生参加更合适．
（2）不少于86分的频率为$\frac{1}{3}$，故每次成绩不少于86分的概率p=$\frac{1}{3}$，
ξ取值为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{3}）^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}（\frac{2}{3}）^{0}$=$\frac{1}{81}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

Eξ=np=4×$\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．