Question

4．某班级举行一次“科普知识”竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：

分 组（分数段）	频 数（人 数）	频            率
[60，70）	8
[70，80）		0.44
[80，90）	14	0.28
[90，100
合    计	50	1

（Ⅰ）填写频率分布表中的空格；
（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学从给定的5道小题中依次口答，答对3道题就终止答题并获一等奖；如果前3道题都答错就不再答第4、5题而被淘汰．某同学进入决赛，每道题答对的概率均为0.5．
①求该同学恰好答满5道题并获一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题的个数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率=$\frac{频数}{总数}$，能完成频率分布表．
（Ⅱ）①该同学答满5道题并获一等奖，即前4道题回答结果对错，而第5道题答对，由此能求出该同学恰好答满5道题并获一等奖的概率．
②该同学答题的个数可能为3、4、5，即X的可能取值为3、4、5，分另求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由频率=$\frac{频数}{总数}$，得频率分布表为：

分 组（分数段）	频 数（人 数）	频            率
[60，70）	8	0.16
[70，80）	22	0.44
[80，90）	14	0.28
[90，100[来源：．Com	6	0.12
合    计	50	1

（4分）
（Ⅱ）①该同学答满5道题并获一等奖，即前4道题回答结果对错，而第5道题答对，
∴该同学恰好答满5道题并获一等奖的概率p=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$．（6分）
②该同学答题的个数可能为3、4、5，即X的可能取值为3、4、5，（7分）
X=3时分两种情况：答完3道题获奖或答完3道题淘汰，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$+${C}_{3}^{3}（1-\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
X=4时分两种情况：答完4道题获奖或答完4道题淘汰，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
X=5时分两种情况：答完5道题获奖或答完5道题淘汰，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$+${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，（10分）
∴X的分布列为：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

E（X）=$3×\frac{1}{4}+4×\frac{3}{8}+5×\frac{3}{8}$=$\frac{33}{8}$．（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式的合理运用．