Question

9．已知函数f（x）=x³-3ax²+4，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＜0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，+∞）
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 求导f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），从而分类讨论以确定函数的单调性及极值，再结合函数零点的判定定理求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³-3ax²+4，
∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
①当a＞0时，
f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数；
又f（0）=4＞0，故只需要f（2a）=8a³-12a³+4＞0，
解得0＜a＜1；
②当a=0时，
f（x）=x³+4在（-∞，+∞）上是增函数，且f（0）=4＞0；
故f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＜0；
③当a＜0时，
f（x）在（-∞，2a）上是增函数，在（2a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（0）=4＞0，
故f（x）满足存在唯一的零点x₀，且x₀＜0；
综上所述，
实数a的取值范围为（-∞，1），
故选B．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数零点的判定定理的应用．