Question

8．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（1）若a+b=3，当x∈[1，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数对（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，若存在，试求出所有满足条件的实数对（a，b）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分离参数得到$a≥-\frac{{{x^2}+3}}{x-1}$，结合基本不等式的性质得到a的范围即可；
（2）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）≥0，即a（x-1）≥-（x²+3）．
当x=1时，恒成立；
当x∈（1，2]时，得$a≥-\frac{{{x^2}+3}}{x-1}$，
令t=x-1∈（0，1]，
$-\frac{{{x^2}+3}}{x-1}=-（{t+\frac{4}{t}}）-2$≤-7
综上：有a≥-7．
（2）要使|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，
必须满足$\left\{\begin{array}{l}-2≤f（1）≤2\\-2≤f（3）≤2\\-2≤f（5）≤2\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}-2≤1+a+b≤2①\\-2≤9+3a+b≤2②\\-2≤25+5a+b≤2③\end{array}\right.$
由$\left\{\begin{array}{l}-2≤-1-a-b≤2①\\-2≤9+3a+b≤2②\end{array}\right.$，
相加得：-4≤8+2a≤4⇒-6≤a≤2
再由$\left\{\begin{array}{l}-2≤-9-3a-b≤2②\\-2≤25+5a+b≤2③\end{array}\right.$，
相加得：-4≤16+2a≤4⇒-10≤a≤-6
可以解得：a=-6，代入不等式组，得到b=7．
检验a=-6，时，|f（x）|≤2在区间[1，5]上恒成立
所以满足题意的是实数对（a，b）只有一对：（-6，7）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式的性质，是一道中档题．