Question

3．已知数列{α_n}的通项公式为${α_n}=\frac{5-2n}{16}π，n∈{N^*}$，数列{β_n}的前n项和为${S_n}=\frac{n^2}{16}π，n∈{N^*}$．
（1）求数列{β_n}的通项公式；
（2）求证：数列{tanα_n•tanβ_n+tanα_n+tanβ_n}是常数数列；
（3）求数列{tanα_n•tanβ_n}的前8n项和．

Answer 1

分析 （1）数列{β_n}的前n项和为${S_n}=\frac{n^2}{16}π，n∈{N^*}$．当n≥2时，β_n=S_n-S_n-1=$\frac{2n-1}{16}π$．又β₁=S₁=$\frac{π}{16}$，满足上式．β_n=$\frac{2n-1}{16}π$．
（2）由${α_n}+{β_n}=\frac{π}{4}$，可得$tan（{α_n}+{β_n}）=\frac{{tan{α_n}+tan{β_n}}}{{1-tan{α_n}•tan{β_n}}}=1$，化简整理即可得出．
（3）利用诱导公式化简整理即可得出．

解答 （1）数列{β_n}的前n项和为${S_n}=\frac{n^2}{16}π，n∈{N^*}$．
当n≥2时，β_n=S_n-S_n-1=$\frac{2n-1}{16}π$．又β₁=S₁=$\frac{π}{16}$，满足上式．
∴β_n=$\frac{2n-1}{16}π$．
（2）∵${α_n}+{β_n}=\frac{π}{4}$…（4分）
∴$tan（{α_n}+{β_n}）=\frac{{tan{α_n}+tan{β_n}}}{{1-tan{α_n}•tan{β_n}}}=1$，
∴tanα_n•tanβ_n+tanα_n+tanβ_n=1，
∴{tanα_n•tanβ_n+tanα_n+tanβ_n}是常数数列．        …（6分）
（3）∵tanα₁+tanα₂+tanα₃+tanα₄+tanα₅+tanα₆+tanα₇+tanα₈=$tan\frac{3}{16}π+tan\frac{1}{16}π+tan\frac{-1}{16}π+tan\frac{-3}{16}π+tan\frac{-5}{16}π+tan\frac{-7}{16}π+tan\frac{-9}{16}π+tan\frac{-11}{16}π=0$$\begin{array}{l}∴T=8\\∴tan{α_{8n-7}}+tan{α_{8n-6}}+tan{α_{8n-5}}+tan{α_{8n-4}}+tan{α_{8n-3}}+tan{α_{8n-2}}+tan{α_{8n-1}}+tan{α_{8n}}=0\end{array}$…（9分）
∵tanβ₁+tanβ₂+tanβ₃+tanβ₄+tanβ₅+tanβ₆+tanβ₇+tanβ₈=$tan\frac{1}{16}π+tan\frac{3}{16}π+tan\frac{5}{16}π+tan\frac{7}{16}π+tan\frac{9}{16}π+tan\frac{11}{16}π+tan\frac{13}{16}π+tan\frac{15}{16}π=0$$\begin{array}{l}∵T=8\\∴tan{β_{8n-7}}+tan{β_{8n-6}}+tan{β_{8n-5}}+tan{β_{8n-4}}+tan{β_{8n-3}}+tan{β_{8n-2}}+tan{β_{8n-1}}+tan{β_{8n}}=0\end{array}$$\begin{array}{l}∴（tan{α_1}+tan{α_2}+tan{α_3}+tan{α_4}+tan{α_5}+tan{α_6}+tan{α_7}+tan{α_8}）+…\\+（tan{α_{8n-7}}+tan{α_{8n-6}}+tan{α_{8n-5}}+tan{α_{8n-4}}+tan{α_{8n-3}}+tan{α_{8n-2}}+tan{α_{8n-1}}+tan{α_{8n}}）\\+（tan{β_1}+tan{β_2}+tan{β_3}+tan{β_4}+tan{β_5}+tan{β_6}+tan{β_7}+tan{β_8}）+…\\+tan{β_{8n-7}}+tan{β_{8n-6}}+tan{β_{8n-5}}+tan{β_{8n-4}}+tan{β_{8n-3}}+tan{β_{8n-2}}+tan{β_{8n-1}}+tan{β_{8n}}=0\end{array}$
∵tanα_n•tanβ_n+tanα_n+tanβ_n=1，
∴T_n=8n…（12分）

点评 本题考查了诱导公式、递推关系、正切和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．