Question

12．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a＜100），若函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，求整数a的个数．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数定义求解即可
（2）利用已知条件转化为2^2x+1=（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）•2^x，
令t=2^x，则方程可化为（a-1）t²$-\frac{4}{3}$at-1=0，
分类讨论利用二次函数求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）
根据对数性质化简得出：-x-kx=kx
即-1-k=k
k=-$\frac{1}{2}$
（2）∵函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，
∴log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一个实数根．
即2^2x+1=（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）•2^x，
令t=2^x，则方程可化为（a-1）t²$-\frac{4}{3}$at-1=0，
①a=1，t=$-\frac{4}{3}$
②△=0，a=$\frac{3}{4}$或a=-3，
③一个正根一个负根，a＞1，∵a＜100，∴1＜a＜100，
综上a=-3，2，3，4，…99，共99个

点评 本题综合考查了函数的定义性质，方程的运用，分类讨论的思想，属于中档题．