Question

2．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，g（x）=f（x）-kx，h（x）=f（x）-x，且函数g（x）与函数h（x）在R上均单调递增，当k＞l时，则下列结论中一定错误的是（　　）

• A． $f（{\frac{1}{k}}）＜\frac{1}{k}$
• B． $f（{\frac{1}{k}}）＞\frac{1}{k-1}$
• C． $f（{\frac{1}{k-1}}）＞\frac{1}{k-1}$
• D． $f（{\frac{1}{k-1}}）＜\frac{1}{k-1}$

Answer 1

分析 根据条件可以得到f′（x）≥k＞1，而$f′（0）=\underset{lim}{x→0}\frac{f（x）-f（0）}{x}$，从而得到$\frac{f（x）-f（0）}{x}≥k$，若令$x=\frac{1}{k-1}$便可以得出$f（\frac{1}{k-1}）≥\frac{1}{k-1}$，这样即得出选项D错误．

解答 解：函数g（x）与函数h（x）在R上均单调递增；
∴g′（x）=f′（x）-k≥0，h′（x）=f′（x）-1≥0，且k＞1；
∴f′（x）≥k＞1；
∵$f′（0）=\underset{lim}{x→0}\frac{f（x）-f（0）}{x}$；
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}≥k$；
∴$x=\frac{1}{k-1}$时，$\frac{f（\frac{1}{k-1}）+1}{\frac{1}{k-1}}≥k$；
∴$f（\frac{1}{k-1}）≥\frac{1}{k-1}$；
∴$f（\frac{1}{k-1}）＜\frac{1}{k-1}$一定错误．
故选D．

点评 考查函数单调性和函数导数的关系，以及函数导数的定义，不等式的性质．