Question

12．已知P是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上的任意一点，F₁、F₂是它的两个焦点，O为坐标原点，$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 设Q（x，y），推导出$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{OQ}$=-$\frac{1}{2}$（x，y）=（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{y}{2}$），由此能求出动点Q的轨迹方程．

解答 解：由$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
又$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{PO}$=-2$\overrightarrow{OP}$，
设Q（x，y），则$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{OQ}$=-$\frac{1}{2}$（x，y）=（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{y}{2}$），
即P点坐标为（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{y}{2}$），又P在椭圆上，则$\frac{{{{（-\frac{x}{2}）}^2}}}{9}+\frac{{{{（-\frac{y}{2}）}^2}}}{4}=1$．
即$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$．
∴动点Q的轨迹方程为$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$．

点评 本题考查动点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量运算法则的合理运用．