Question

10．已知函数y=f（x）的图象与函数y=log_ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，如果函数g（x）=f（x）[f（x）-3a²-1]（a＞0，且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• C． [1，$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知函数g（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，令a^x=t，利用换元法及二次函数性质能求出a的取值范围．

解答 解：∵函数y=f（x）的图象与函数y=log_ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）=a^x（a＞0，a≠1），
∵函数g（x）=f（x）[f（x）-3a²-1]（a＞0，且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，
∴函数g（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数
令a^x=t，则g（x）=a^x（a^x-3a²-1）转化为y=t²-（3a²+1）t，其对称轴为t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$＞0，
当a＞1时，t≥1，要使函数y=t²-（3a²+1）t在[1，+∞）上是增函数
则t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$≤1，故不存在a使之成立；
当0＜a＜1时，0＜t≤1，要使函数y=t²-（3a²+1）t在（0，1]上是减函数
则t=$\frac{3{a}^{2}+1}{2}$≥1，故$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a＜1．
综上所述，a的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法及二次函数性质的合理运用．