Question

15．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为C₁上任一点，MN是圆C₂：x²+（y-3）²=1的一条直径，在y轴上截距为3-$\sqrt{2}$的直线l与AF平行且与圆C₂相切．
（1）求椭圆C₁的离心率；
（2）若椭圆C₁的短轴长为8，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得AF的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，得出直线l的方程，再由直线与圆相切得a²=2c²，从而求得离心率；
（2）求得b=4，可得椭圆方程，圆的圆心和半径，设P（x，y），$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}M}$）•（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}N}$）=$\overrightarrow{P{C}_{2}}$²-$\overrightarrow{{C}_{2}N}$²，化简整理，运用二次函数的最值和椭圆的范围，即可得到最大值．

解答 解：（1）由题意可得A（0，b），F（c，0），
直线l的斜率为k=k_AF=-$\frac{b}{c}$，
直线l的方程为bx+cy-（3-$\sqrt{2}$）c=0，
因为直线与圆c₂：x²+（y-3）²=1相切，
可得d=$\frac{|3c-3c+\sqrt{2}c|}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=1，即a²=2c²，
从而e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设P（x，y）、圆C₂的圆心记为C₂（0，3），半径为1．
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1（c＞0），
由题意可得2b=8，即b=4，即c=4，
则椭圆方程为x²+2y²=32，即有x²=32-2y²，
又$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}M}$）•（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}N}$）=$\overrightarrow{P{C}_{2}}$²-$\overrightarrow{{C}_{2}N}$²
=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+49（-4≤y≤4）．
当y=-3时，（$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$）_max=49．
故$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最大值为49．

点评 本题主要考查直线、圆、椭圆的基本性质及位置关系的应用，渗透向量、函数最值等问题，培养学生综合运用知识的能力．