Question

5．已知函数g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，函数h（x）=x²-m．
（1）当a=-1时，求函数f（x）=g（x）+6lnx+x的最小值；
（2）试讨论函数p（x）=h（x）-mx在区间[0，4]上的单调性；
（3）当a=2时，若?x₁∈（0，1），对?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由g（x）得到f（x）的解析式，对其求导，由单调性得到最值．
（2）p（x）为二次函数，通过分析对称轴可以得到单调性．
（3）?x₁∈（0，1），表明需要找出g（x）的最大值即可．对?x₂∈[1，2]，表明也需要找出h（x）的最小值．

解答 解：（1）当a=-1时，g（x）=-x+$\frac{1}{x}$-5lnx，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，
∴定义域为（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
f（x）的最小值为f（1）=1．
（2）p（x）=x²-mx-m，对称轴为x=$\frac{m}{2}$
①当$\frac{m}{2}$≤0时，即m＜0时，p（x）在区间[0，4]时单调递增的．
②0＜$\frac{m}{2}$＜4时，即0＜m＜8时，p（x）在区间[0，$\frac{m}{2}$]上单调递减，在区间[$\frac{m}{2}$4]上单调递增．
③$\frac{m}{2}$≥4时，即m≥8时，p（x）在区间[0，4]上单调递减．
（3）当a=2时，g（x）=2x-$\frac{x}{2}$-5lnx，
∵若?x₁∈（0，1），对?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，
∴只需g（x）最大值大于等于h（x）的最大值．
∵g′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在区间[0，1]上最大值为g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$+5ln2，
∵h（x）在区间[1，2]上单调递增，h（x）的最大值为h（2）=4-m，
∴$\frac{3}{4}$+5ln2≥4-m，
∴m≥$\frac{13}{4}$-5ln2．

点评 本题考查函数求导，及由不等式来确定取值范围问题．