Question

10．己知函数f（x）=ax+$\frac{a}{x}$-3lnx．
（1）当a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对各自定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b成立，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．当a=0时，令g（x）=$\frac{-2e}{3}$f（x）（e为自然对数的底数），h（x）=x²（x∈R），则函数g（x）和h（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，由函数的单调性确定出最值．
（2）对f（x）求导，由导函数的性质，找出在[1，e]上恒正或恒负的条件即可．
（3）存在g（x）和h（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线斜率为k，可构造函数，根据导数求出函数的最值．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=2x+$\frac{2}{x}$-3lnx，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在区间（0，2）单调递增，在区间（2，+∞）单调递减，
f（x）的最大值为f（2）=5-3ln2，
（2）∵f（x）=ax+$\frac{a}{x}$-3lnx．
∴f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-3x-a}{{x}^{2}}$，
令F（x）=ax²-3x-a，
则F（x）的对称轴为，
①a=0时，f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，即f（x）在[1，e]上为单调函数，
②a＞0时，∵f′（1）=-3，∴只需f′（e）＜0即可，
即0＜a＜$\frac{3e}{{e}^{2}-1}$，
③a＜0时，∵f′（1）=-3，∴只需f′（e）＜0即可，
即a＜$\frac{3e}{{e}^{2}-1}$（舍掉），
综上所述，0≤a＜$\frac{3e}{{e}^{2}-1}$，
（3）g（x）=2elnx，h（x）=x²，
令F（x）=h（x）-g（x）=x²-2elnx（x＞0），∴F′（x）=2x-$\frac{2e}{x}$，
令F′（x）=0，得x=$\sqrt{e}$，
从而函数g（x）和h（x）的图象在x=$\sqrt{e}$处有公共点，
∴存在g（x）和h（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线斜率为k，
则隔离直线为y-e=k（x-$\sqrt{e}$），即y=kx-k$\sqrt{e}$+e，
由h（x）≥kx-k$\sqrt{e}$+e可得，x²-kx+k$\sqrt{e}$-e≥0，当x∈R恒成立，
则△=k²-4k$\sqrt{e}$+4e=（k-2$\sqrt{e}$）²≤0，只有k=2$\sqrt{e}$时，等号成立，此时直线方程为y=2$\sqrt{e}$x-e，
同理证明，由g（x）≤kx-k$\sqrt{e}$+e，可得只有k=2$\sqrt{e}$时，等号成立，此时直线方程为y=2$\sqrt{e}$x-e，
综上可得，函数g（x）和h（x）存在唯一的隔离直线y=2$\sqrt{e}$x-e．

点评 本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数求导，利用函数最值，属于难题．