Question

6．在等比数列{a_n}中，公比为q，Tn为其前n项之积，则T_n，T_2n，T_3n有什么样的关系？请给出证明．

Answer 1

分析 T_3n=（$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$）³，利用等比数列的通项公式能进行证明．

解答 解：在等比数列{a_n}中，公比为q，T_n为其前n项之积，则T_3n=（$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$）³．
证明如下：
T_3n=${a}_{1}×{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}×…×{a}_{1}{q}^{3n-1}$=${{a}_{1}}^{3}{q}^{1+2+…+3n-1}$=（${{a}_{1}}^{n}$${q}^{\frac{n（3n-1）}{2}}$）³，
$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}×{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}×…×{a}_{1}{q}^{2n-1}}{{a}_{1}×{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}×…×{a}_{1}{q}^{n-1}}$=${{a}_{1}}^{n}$${q}^{\frac{n（3n-1）}{2}}$，
∴T_3n=（$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$）³．

点评 本题考查等比数列的前n项之积、前2n项之积、前3n项之积的相互关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．