Question

14．已知a＞0，x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤3}\\{y≥a（x-3）}\end{array}\right.$ 若z=2x+y的最小值与最大值的和为7，则a=（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值和最小值，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C（3，0）时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．此时最大值为z=6，
直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=a（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2a}\end{array}\right.$，即B（1，-2a），
代入目标函数z=2x+y得z=2-2a．
即z=2x+y的最小值与最大值的和为7，
∴6+2-2a=8-2a=7，
即a=$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．