Question

3．在数列{a_n}中，a_n+1=ca_n（c为非零常数），前n项和为S_n=3^n-2+k，则实数k的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{9}$
• D． -$\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 由已知得数列{a_n}是等比数列，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出前3项，利用等比数列的性质能求出k．

解答 解：∵在数列{a_n}中，a_n+1=ca_n（c为非零常数），前n项和为S_n=3^n-2+k，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{3}+k$，
a₂=S₂-S₁=（1+k）-（$\frac{1}{3}+k$）=$\frac{2}{3}$，
a₃=S₃-S₂=（3+k）-（1+k）=2，
∴由${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，得$\frac{4}{9}=（\frac{1}{3}+k）•2$，
解得k=-$\frac{1}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．