Question

7．已知椭圆的两焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0），P是椭圆上一点且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，则此椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，再由椭圆的定义可得a=2，由a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，
由题意的定义可得2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|=4=2a，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，以及椭圆的定义，考查运算能力，属于基础题．