Question

9．设函数f（x）=x-2msinx+（2m-1）sinxcosx（m为实数）在（0，π）上为增函数，则m的取值范围为（　　）

• A． [0，$\frac{2}{3}$]
• B． （0，$\frac{2}{3}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$]
• D． [0，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 求出函数的导数，再由条件和余弦函数的范围将问题转化为：（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立，再对m分类讨论，利用余弦函数的范围求出m的范围．

解答 解：由题意得：f′（x）=1-2mcosx+2（m-$\frac{1}{2}$）cos2x
=2[（2m-1）cos²x-mcosx+1-m]
=2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]
∵f（x）在区间（0，π）上是增函数，
∴2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]＞0在（0，π）上恒成立．…（6分）
∵0＜x＜π，∴cosx＜1．即（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立…（7分）
①若m＞$\frac{1}{2}$，则cosx＜$\frac{1-m}{2m-1}$对于x∈（0，π）恒成立，
则只需$\frac{1-m}{2m-1}$≥1，即$\frac{1}{2}$＜m≤$\frac{2}{3}$；…（9分）
②若m=$\frac{1}{2}$，则0•cosx+$\frac{1}{2}$-1＜0对于x∈（0，π）显然成立；…（10分）
③若m＜$\frac{1}{2}$，则cosx＞$\frac{1-m}{2m-1}$对于x∈（0，π）恒成立，
则只需$\frac{1-m}{2m-1}$≤-1，即0≤m＜$\frac{1}{2}$．…（11分）
综上所述，所求实数m的取值范围是[0，$\frac{2}{3}$]．
故选：A．…（12分）

点评 本题考查了导数的几何意义，余弦函数的性质，二次函数的性质的应用，以及函数的单调性与导数之间的关系，涉及了分类讨论思想和换元法，一题多解，综合性较强，难度大．