Question

19．若变量x、y，满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，则z=2x+4y的最大值为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$，
平移直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$经过点A时，
直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
即A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
此时z=2×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．