Question

4．已知定义在R上的奇函数f（x）都有f（x+$\frac{5}{2}$）+f（x）=0，当-$\frac{5}{4}$≤x≤0时，f（x）=2^x+a，则f（16）的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $-\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根据条件可以得出f（x）是以5为周期的周期函数，从而有f（16）=f（1），而根据f（x）为奇函数便可得到f（0）=0，从而求出a=-1，这样即可求出f（-1），进而求出f（1），从而得出f（16）的值．

解答 解：由$f（x+\frac{5}{2}）+f（x）=0$得，$f（x）=-f（x+\frac{5}{2}）=f（x+5）$；
∴f（x）是以5为周期的周期函数；
∴f（16）=f（1+3•5）=f（1）；
f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=1+a=0；
∴a=-1；
∴$-\frac{5}{4}≤x≤0$时，f（x）=2^x-1；
∴$f（-1）={2}^{-1}-1=-\frac{1}{2}$；
∴$f（1）=\frac{1}{2}$；
∴$f（16）=\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 考查周期函数的定义，奇函数的定义，以及奇函数在原点有定义时，函数值为0，已知函数求值．