Question

8．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），图象关于y轴对称，且当x＜0时，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，设a＞1，则$\frac{4af（a+1）}{a+1}$，2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$），（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）的大小关系为$\frac{4af（a+1）}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$）＜（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）．

Answer 1

分析 由不等式，知构造新函数，求解新函数的增加性及奇偶性，将所比较的数转化为新函数的数值，由此来比较大小．

解答 解：∵当x＜0时，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
∴xf′（x）＜f（x），
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）为奇函数，在（0，+∞）上单调递减．
∵比较$\frac{4af（a+1）}{a+1}$，2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$），（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）的大小，
∴$\frac{4af（a+1）}{a+1}$=4ag（a+1），
2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$）=4ag（2$\sqrt{a}$），
（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）=4ag（$\frac{4a}{a+1}$），
∵a＞1，
∴a+1-2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$-1）²＞0，
∴a+1＞2$\sqrt{a}$，a+1＞$\frac{4a}{a+1}$，且$\frac{4a}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$，
∴a+1＞2$\sqrt{a}$＞$\frac{4a}{a+1}$，
∴g（a+1）＜g（2$\sqrt{a}$）＜g（$\frac{4a}{a+1}$），
∴4ag（a+1）＜4ag（2$\sqrt{a}$）＜4ag（$\frac{4a}{a+1}$），
故答案为：$\frac{4af（a+1）}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$）＜（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）．

点评 本题考查新函数的构造，只需确定出新函数即可研究其性质．