Question

5．求下列函数的最大值和最小值：
（1）y=3-2cos（x+π）；
（2）y=3cos²x-4cosx+1，x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]；
（3）y=$\frac{cosx-2}{cosx-1}$．

Answer 1

分析 （1）由三角函数可知当cos（x+π）=1和-1时，函数分别取取最小、大值，代值计算可得；
（2）由x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]可得t=cosx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，换元由二次函数区间的最值可得；
（3）由题意cosx∈[-1，1），变形可得y=$\frac{cosx-2}{cosx-1}$=1-$\frac{1}{cosx-1}$，由不等式的性质可得y的范围，可得最值．

解答 解：（1）由三角函数可知当cos（x+π）=1时，函数取最小值1，
当cos（x+π）=-1时，函数取最大值5；
（2）由x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]可得t=cosx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴y=3cos²x-4cosx+1=3t²-4t+1，
由二次函数可知当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{15}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值-$\frac{1}{4}$；
（3）由题意可得cosx≠1，故cosx∈[-1，1），
变形可得y=$\frac{cosx-2}{cosx-1}$=$\frac{cosx-1-1}{cosx-1}$=1-$\frac{1}{cosx-1}$，
由cosx∈[-1，1）可得cosx-1∈[-2，0），
∴$\frac{1}{cosx-1}$∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]，
∴-$\frac{1}{cosx-1}$∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴1-$\frac{1}{cosx-1}$∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
故函数有最小值$\frac{3}{2}$，无最大值．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值以及不等式的性质，属中档题．