Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N，n≥1）．
（1）求a₁，a₂；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）b_n=n，令c_n=b_na_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过令n=1、2代入计算即得结论；
（2）通过S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N，n≥1）与S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）（n∈N，n≥2）作差，计算可知数列{a_n}是首项、公比均为-$\frac{1}{2}$的等比数列，进而计算可得结论；
（3）通过（2）可知c_n=n•$（-\frac{1}{2}）^{n}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₁=S₁=$\frac{1}{3}$（a₁-1），
解得：a₁=-$\frac{1}{2}$，
当n=2时，a₂-$\frac{1}{2}$=S₂=$\frac{1}{3}$（a₂-1），
解得：a₂=$\frac{1}{4}$；
（2）∵S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N，n≥1），
∴S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）（n∈N，n≥2），
两式相减得：a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），即a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
又∵a₁=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是首项、公比均为-$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴其通项公式a_n=（-1）ⁿ$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）由（2）可知c_n=b_na_n=n•$（-\frac{1}{2}）^{n}$，记数列{c_n}的前n项和为T_n，
则T_n=$-\frac{1}{2}$+2•$（-\frac{1}{2}）^{2}$+3•$（-\frac{1}{2}）^{3}$+…+n•$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
-$\frac{1}{2}$T_n=$（-\frac{1}{2}）^{2}$+2•$（-\frac{1}{2}）^{3}$+3•$（-\frac{1}{2}）^{4}$+…+（n-1）•$（-\frac{1}{2}）^{n}$+n•$（-\frac{1}{2}）^{n+1}$，
两式相减得：$\frac{3}{2}$T_n=$-\frac{1}{2}$+$（-\frac{1}{2}）^{2}$+$（-\frac{1}{2}）^{3}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n}$-n•$（-\frac{1}{2}）^{n+1}$
=$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$-n•$（-\frac{1}{2}）^{n+1}$
=-$\frac{1}{3}$+$\frac{2+3n}{6}$•$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
∴T_n=-$\frac{2}{9}$+$\frac{2+3n}{9}$•$（-\frac{1}{2}）^{n}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．