Question

10．已知非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overline{{e}_{2}}$不共线．
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overline{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+8$\overline{{e}_{2}}$，$\overline{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overline{{e}_{2}}$），求证：A、B、D三点共线；
（2）已知$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overline{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=-λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overline{{e}_{2}}$，$\overline{CD}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overline{{e}_{2}}$，若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$共线，即得A、B、D三点共线；
（2）由A、B、D三点在同一条直线上可得$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$共线，可得λ的方程，解方程可得．

解答 解：（1）∵非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overline{{e}_{2}}$不共线，
又∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overline{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+8$\overline{{e}_{2}}$，$\overline{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overline{{e}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$+5$\overline{{e}_{2}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overline{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$共线，故A、B、D三点共线；
（2）∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overline{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=-λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overline{{e}_{2}}$，$\overline{CD}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overline{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=（3-λ）$\overrightarrow{{e}_{1}}$-11$\overline{{e}_{2}}$，
∵A、B、D三点在同一条直线上，
∴$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$共线，∴3-λ=-11，
解得λ=14．

点评 本题考查平行向量和共线向量，属基础题．