Question

13．设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（-2c，0），B（2c，0），如果椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，则离心率的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{1}{2}）$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{4}{5}）$
• C． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}]$

Answer 1

分析 设P（acosα，bsinα），则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=a²cos²α-4c²+b²sin²α=0，从而e²=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}si{n}^{2}θ}{4{a}^{2}}$，0＜θ＜2π，由此能求出离心率的取值范围．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（-2c，0），B（2c，0），
椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，
∴设P（acosα，bsinα），则$\overrightarrow{AP}$=（acosα+2c，bsinα），$\overrightarrow{BP}$=（acosα-2c，bsinα），
∵AP⊥BP，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=a²cos²α-4c²+b²sin²α=0，
∴e²=$\frac{4{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}co{s}^{2}θ+{b}^{2}si{n}^{2}θ}{4{a}^{2}}$
=$\frac{{a}^{2}co{s}^{2}θ+{a}^{2}si{n}^{2}θ-{c}^{2}sinθ}{4{a}^{2}}$
=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}si{n}^{2}θ}{4{a}^{2}}$，0＜θ＜2π，
∴当θ→0时，e=$\frac{1}{2}$；当$θ=\frac{π}{2}$时，e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴离心率的取值范围为[$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．