Question

1．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，
（1）求M^-1；
（2）求直线4x-9y=1在M²的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）根据矩阵M，求出它的逆矩阵M^-1；
（2）根据题意，求出M²以及对应M²[$\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}$]的表达式，写出对应新曲线方程．

解答 解：（1）∵M=[$\underset{\stackrel{2}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{0}{\;}}{3}$]，
∴M^-1=[$\underset{\stackrel{\frac{1}{2}}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{0}{\;}}{\frac{1}{3}}$]；
（2）∵M²=[$\underset{\stackrel{4}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{0}{\;}}{9}$]，
∴M²[$\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}$]=[$\underset{\stackrel{4}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{0}{\;}}{9}$][$\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}$]=[$\underset{\stackrel{4x}{\;}}{9y}$]=[$\underset{\stackrel{x′}{\;}}{y′}$]；
又∵4x-9y=1，
∴x′-y′=1，
即所求新曲线的方程为x-y=1．

点评 本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题．