Question

17．已知四点A（2，3，1），B（-5，4，1），C（6，2，-3），D（5，-2，1），求通过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程．

Answer 1

分析 求出与向量$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{BD}$垂直的直线L的方向向量$\overrightarrow{n}$，即可写出直线L的对称式方程．

解答 解：$\overrightarrow{BC}$=（6+5，2-4，-3-1）=（11，-2，-4），
$\overrightarrow{BD}$=（5+5，-2-4，1-1）=（10，-6，0），
取直线L的方向向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=0①，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=0②；
即$\left\{\begin{array}{l}{11x-2y-4z=0}\\{10x-6y=0}\end{array}\right.$，
解得直线L的方向向量为$\overrightarrow{n}$=（12，20，23）；
所以过点A且垂直于B，C，D所确定的平面的直线方程是：
$\frac{x-2}{12}$=$\frac{y-3}{20}$=$\frac{z-1}{23}$．

点评 本题考查了求空间直角坐标系中平面的法向量与直线方程的应用问题，是基础题目．