Question

12．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，已知tan（A+B）=-$\sqrt{3}$，c=$\frac{7}{2}$，又△ABC面积S=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则
（1）△ABC的周长是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）△ABC是否能够唯一确定？若能，请解出此三角形；若不能，请适当修改条件以确定△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式可得tanC=$\sqrt{3}$，由C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{3}$，由S=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得ab=6，由余弦定理可得：a+b=$\frac{11}{2}$，从而可求△ABC的周长=9．
（2）由（1）可得ab=6，a+b=$\frac{11}{2}$，可得：2b²-11b+12=0，解得：b=4或$\frac{3}{2}$，a=$\frac{3}{2}$或4，△ABC不能够唯一确定，修改条件为：在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，已知tan（A+B）=-$\sqrt{3}$，c=$\frac{7}{2}$，又△ABC面积S=$\frac{121\sqrt{3}}{64}$，△ABC能够唯一确定．

解答 解：（1）△ABC的周长为一定值．
∵tan（A+B）=-tanC=-$\sqrt{3}$，
∴tanC=$\sqrt{3}$，由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
又∵c=$\frac{7}{2}$，△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得：ab=6，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：$\frac{49}{4}$=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-18，可得：a+b=$\frac{11}{2}$，
∴△ABC的周长=a+b+c=$\frac{7}{2}$+$\frac{11}{2}$=9，故△ABC的周长为一定值9．
（2）由（1）可得C=$\frac{π}{3}$，c=$\frac{7}{2}$，ab=6，a+b=$\frac{11}{2}$，可得：2b²-11b+12=0，解得：b=4或$\frac{3}{2}$，a=$\frac{3}{2}$或4．
故△ABC不能够唯一确定，
修改条件为：在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，已知tan（A+B）=-$\sqrt{3}$，c=$\frac{7}{2}$，又△ABC面积S=$\frac{121\sqrt{3}}{64}$，
可得：$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{121\sqrt{3}}{64}$，解得：ab=$\frac{121}{16}$，又a+b=$\frac{11}{2}$，
从而解得：b²-$\frac{11}{2}$b+$\frac{121}{16}$=0，△=0，可得b，a只有唯一解．

点评 本题主要考查了诱导公式，三角形面积公式，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．