Question

2．某辆汽车购买时的费用是10万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为2万元，年维修保养费用第一年0.1万元，以后逐年递增0.2万元．设这辆汽车使用n（n∈N^*）年的年平均费用为f（n）.$（年平均费用=\frac{买车费用+每年用车产生的费用}{使用年数}）$则f（n）与n的函数关系式f（n）=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$；这辆汽车报废的最佳年限约为10年．

Answer 1

分析 根据条件可以看出年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式即可求出n年的维修保养费用，而n年的险费、高速公路费、汽油费等为2n万元，从而可以得出这辆汽车使用n年的总费用，从而可以得出$f（n）=\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$，n∈N^*，而根据基本不等式即可求出n=10时，f（n）取最小值，即得出这辆汽车报废的最佳年限约为10年．

解答 解：根据题意，年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列；
∴n年的维修保养费用为$0.1n+\frac{n（n+1）}{2}•0.2$；
∴$f（n）=\frac{10+2n+0.1n+\frac{n（n-1）}{2}•0.2}{n}$=$\frac{{n}^{2}+100}{10n}+2$=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$；
即$f（n）=\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$，n∈N^*；
$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}≥2$；
∴f（n）≥4，当$\frac{n}{10}=\frac{10}{n}$，即n=10时取“=”；
∴这辆汽车报废的最佳年限约为10年．
故答案为：$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$，10．

点评 考查等差数列的概念，以及等差数列的前n项和公式，根据实际问题建立函数关系式的方法，基本不等式用于求最值，清楚基本不等式等号成立的条件．