Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{4}$a（x-2）⁴+（x-2）²+a（x-2）（a≠0），函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求函数g（x）．
（2）a≥2时，求证：函数g（x）在区间（$\frac{a}{a+1}$，1）不单调．

Answer 1

分析 （1）根据函数的对称性进行转化求解即可．
（2）求函数的导数，判断函数的单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称．
设（x，y）是g（x）上任意一点，则函数（x，y）关于线x=1对称的点的坐标为（2-x，y），
则满足y=$\frac{1}{4}$a（2-x-2）⁴+（2-x-2）²+a（2-x-2）=$\frac{1}{4}$ax⁴+x²-ax，即g（x）=$\frac{1}{4}$ax⁴+x²-ax，
（2）当a≥2时，g（x）=$\frac{1}{4}$ax⁴+x²-ax，
g′（x）=ax³+2x-a，g′′（x）=3ax²+2，
当a≥2时，g′′（x）=3ax²+2＞0恒成立，
则函数g′（x）=ax³+2x-a为增函数，
∵g′（1）=a+2-a=2＞0，
g′（$\frac{a}{a+1}$）=a•（$\frac{a}{a+1}$）³+2•$\frac{a}{a+1}$-a=a•$\frac{-{a}^{2}+a+1}{（a+1）^{3}}$=$\frac{a}{（a+1）^{3}}$[-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$]，
∵y=[-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$在a≥2时为减函数，∴y≤-4+2+1=-1＜0，
此时g′（$\frac{a}{a+1}$）＜0，
∴g′（x）=ax³+2x-a在（$\frac{a}{a+1}$，1）存在一个零点x使得g′（x）=0在（$\frac{a}{a+1}$，1）内成立，
即函数g（x）在区间（$\frac{a}{a+1}$，1）不单调．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．