Question

11．椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}$=1的焦点为F₁、F₂，椭圆上的点P满足∠F₁PF₂=60⁰，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A． $\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{91\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{64}{3}$

Answer 1

分析 利用椭圆定义和余弦定理，列出方程组，求出|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，由此能求出△F₁PF₂的面积．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}$=1的焦点为F₁、F₂，椭圆上的点P满足∠F₁PF₂=60⁰，
∴由椭圆定义得：|PF₁|+|PF₂|=20，
∴|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=400，①
由余弦定理得：$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|$•|PF₂|cos∠F₁PF₂=4×36，②
联立①②，得：|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，
∴△F₁PF₂的面积是S=$\frac{1}{2}•$|PF₁|•|PF₂|•sin60°=$\frac{1}{2}×$$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义和余弦定理的合理运用．