Question

20．椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，过右焦点F且斜率为1的直线L与椭圆C相交于A，B两点
（1）求右焦点F的坐标
（2）求弦长AB的值．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的a，b，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，即可得到右焦点；
（2）将直线y=x-1代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的a=2，b=$\sqrt{3}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
可得右焦点F的坐标为（1，0）；
（2）由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直线l：y=x-1联立得：
7x²-8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}，{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，
则|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64}{49}+\frac{32}{7}}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查椭圆的焦点的求法，考查弦长的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．