Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$和直线l：x+y-4=0，求椭圆上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 设椭圆上的点P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式和三角函数性质能求出椭圆上的点P到直线l的距离的最小值．

解答 解：椭圆C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$和直线l：x+y-4=0，
设椭圆上的点P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
∴椭圆上的点P到直线l的距离：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴当sin（$θ+\frac{π}{3}$）=1时，椭圆上的点到直线l的距离取最小值d_min=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．