Question

17．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距是$2\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，$\left|{CD}\right|=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意知$2c=2\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，从而求椭圆的方程即可．
（2）设出交点坐标，联立方程化简得（1+3k²）x²+12kx+9=0，从而结合韦达定理及两点间的距离公式求解即可．

解答 解：（1）由题意知$2c=2\sqrt{2}$，
故c²=2，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴a²=3，b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
将y=kx+2代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
化简整理可得，（1+3k²）x²+12kx+9=0，
故△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，
故k²≥1；
由韦达定理得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12k}{1+3{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
故$\left|{CD}\right|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$，
而y₁-y₂=k（x₁-x₂），
故$\frac{{6\sqrt{2}}}{5}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$；
而${（{x_1}-{x_2}）^2}={（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}=\frac{{{{12}^2}{k^2}}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}-\frac{36}{{1+3{k^2}}}$代入上式，
整理得7k⁴-12k²-27=0，
即（7k²+9）（k²-3）=0，
解得k²=3，故$k=±\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及学生的化简运算能力．