Question

7．已知点F是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，则椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|$\overrightarrow{FD}$|的值，又由$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FD}$，建立关于a、c的方程，解方程求出$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：如图，BF=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=a，
作DD₁⊥y轴于点D₁，则由$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FD}$，
得：$\frac{|\overrightarrow{OF}|}{|D{D}_{1}|}$=$\frac{|\overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{3}$，
所以，|$\overrightarrow{D{D}_{1}}$|=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{OF}$|=$\frac{3}{2}$c，
即x_D=$\frac{3}{2}$c，
由椭圆的第二定义得|$\overrightarrow{FD}$|=e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{3}{2}$c）=a-$\frac{3{c}^{2}}{2a}$，
又由|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FD}$|，得a=2（a-$\frac{3{c}^{2}}{2a}$），
a²=3c²，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．