Question

19．三角形△ABC三边a，b，c满足${a^2}+\frac{1}{2}ab={c^2}-{b^2}$，则角C的值为$π-arccos\frac{1}{4}$．（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{4}$，结合范围C∈（0，π），可知C为钝角，即可用反三角函数值表示C的值．

解答 解：∵${a^2}+\frac{1}{2}ab={c^2}-{b^2}$，即：${a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=-\frac{1}{2}ab$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{-\frac{1}{2}ab}{2ab}$=-$\frac{1}{4}$，
∴由C∈（0，π），可知C为钝角，C=$π-arccos\frac{1}{4}$．
故答案为：$π-arccos\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了反三角函数表示角，属于基础题．