Question

14．已知直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t-1\end{array}\right.（{t为参数}）$和圆C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）$，则直线l与圆C相交所得的弦长为$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

Answer 1

分析 转化为直角坐标方程，利用垂径定理计算．

解答 解：直线l的普通方程为y=2x-1，即2x-y-1=0．
∵ρ=2$\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）$=2cosθ-2sinθ，∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ．
∴圆C的直角坐标方程为为（x-1）²+（y+1）²=2．
∴圆C的圆心为C（1，-1），半径为r=$\sqrt{2}$．
圆心C到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直线l与圆C相交所得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{30}}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．