Question

5．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.\;\;\;（t$为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且$|PA|•|PB|=\frac{28}{3}$，求tanα的值．

Answer 1

分析 （I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；
（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．

解答 解：（I）∵ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x．
（II）将$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入y²=4x，得sin²α•t²+（2sinα-4cosα）t-7=0，
所以$|{t_1}{t_2}|=\frac{7}{{{{sin}^2}α}}=\frac{28}{3}$，
所以${sin^2}α=\frac{3}{4}$，$α=\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，即$tanα=\sqrt{3}$或$tanα=-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，桉树方程的几何意义，属于基础题．