Question

20．设函数f（x）=lg（a^x-b^x），且f（1）=lg2，f（2）=lg12
（1）求a，b的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．
（3）m为何值时，函数g（x）=a^x的图象与h（x）=b^x-m的图象恒有两个交点．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a-b=2，a²-b²=12，解得答案；
（2）当x∈[1，2]时，4^x-2^x∈[2，12]，结合对数函数的图象和性质，可得答案；
（3）若函数g（x）=a^x的图象与h（x）=b^x-m的图象恒有两个交点，则4^x-2^x=-m有两个解，令t=2^x，则t＞0，则t²-t=-m有两个正解，进而得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=lg（a^x-b^x），且f（1）=lg2，f（2）=lg12，
∴a-b=2，a²-b²=12，
解得：a=4，b=2；
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4^x-2^x），
当x∈[1，2]时，4^x-2^x∈[2，12]，
故当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，
（3）若函数g（x）=a^x的图象与h（x）=b^x-m的图象恒有两个交点．
则4^x-2^x=-m有两个解，令t=2^x，则t＞0，
则t²-t=-m有两个正解；
则$\left\{\begin{array}{l}{1-4m＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
解得：m∈（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．