Question

8．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，BD∩AC=O，M是线段D₁O上的动点，过点M作平面ACD₁的垂线交平面A₁B₁C₁D₁于点N，则点N到点A距离的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根据正方体的结构特征，可证，N在B₁D₁上，过N作NG⊥A₁B₁，交A₁B₁于G，设NG=x，利用勾股定理构造关于x的函数，求函数的最小值．

解答 解：∵平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁，又MN⊥平面ACD₁，
∴MN?平面BDD₁B₁，∴N∈B₁D₁，
过N作NG⊥A₁B₁，交A₁B₁于G，将平面A₁B₁C₁D₁展开，如图：
设NG=x，（0≤x≤1），
∴AN=$\sqrt{{1}^{2}+（1-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{2（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{2}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，AN取最小值$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查了正方体的结构性质，考查了函数思想的应用，构造函数模型，利用二次函数求最小值是解题的关键．