Question

11．已知函数f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求$f（\frac{1}{2016}）+f（-\frac{1}{2016}）$的值；
（2）当x∈[-a，a]（其中a∈（0，1）且a是常数）时，f（x）是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，f（-x）=x+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=x-log₂$\frac{1-x}{1+x}$，从而判断出函数为奇函数；从而解得；
（2）化简f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），从而判断函数的单调性，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
f（-x）=x+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=x-log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
∴f（-x）+f（x）=0，
故$f（\frac{1}{2016}）+f（-\frac{1}{2016}）$=0；
（2）f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），
由复合函数的单调性知，
f（x）在[-a，a]上是减函数；
故f_min（x）=f（a）=-a+log₂$\frac{1-a}{1+a}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与应用．