Question

9．已知函数$f（x）=2sin（{\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}}）$．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）设$α，β∈[{0，\frac{π}{2}}]，f（{3α-\frac{π}{2}}）=-\frac{16}{17}，f（{3β+π}）=\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的增区间，求得f（x）的增区间．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（α+β）的值．

解答 解：（1）对于函数$f（x）=2sin（{\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}}）$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得6kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤6kπ+$\frac{5π}{2}$，可得函数的增区间为[6kπ-$\frac{π}{2}$，6kπ+$\frac{5π}{2}$]，k∈Z．
（2）∵$α，β∈[{0，\frac{π}{2}}]，f（{3α-\frac{π}{2}}）=-\frac{16}{17}，f（{3β+π}）=\frac{6}{5}$，
∴2sin（α-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{16}{17}$，2sinβ=$\frac{6}{5}$，∴cosα=$\frac{8}{17}$，sinβ=$\frac{3}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{15}{17}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{8}{17}•\frac{4}{5}$-$\frac{15}{17}•\frac{3}{5}$=-$\frac{13}{85}$．

点评 本题主要考查正弦函数的增区间，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．