Question

19．已知a是大于0的实数，函数f（x）=x²（x-a）． 
（1）若f′（2）=0，求a值；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；
（3）在（1）的条件下，设g（x）=f（x）+$\frac{m}{x-1}$是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导f′（x）=3x²-2ax，从而可得f′（2）=12-4a=0，从而解得；
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-2ax=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而求最小值．
（ III）由（Ⅰ）得a=3，从而可得g（x）=x³-3x²+$\frac{m}{x-1}$，g′（x）=3x²-6x-$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，从而化为g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，从而化为最值问题求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2ax，
∵f′（2）=12-4a=0，
∴a=3；
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-2ax=0，
解得x=0或x=$\frac{2a}{3}$；
①当$\frac{2a}{3}$≥2，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，
故f_min（x）=f（2）=8-4a；
②当0＜$\frac{2a}{3}$＜2，即0＜a＜3时，
f（x）在[0，$\frac{2a}{3}$]上单调递减，在[$\frac{2a}{3}$，2]上单调递增，
故f_min（x）=f（$\frac{2a}{3}$）=-$\frac{4}{27}$a³；
综上所述，0＜a＜3时，f_min（x）=-$\frac{4}{27}$a³，
a≥3时，f_min（x）=8-4a；
（ III）由（Ⅰ）得a=3，
故g（x）=x³-3x²+$\frac{m}{x-1}$，g′（x）=3x²-6x-$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，
∵g（x）是[3，+∞）上的增函数，
∴g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，
即3x²-6x-$\frac{m}{（x-1）^{2}}$≥0在[3，+∞）上恒成立．
设（x-1）²=t，t∈[4，+∞），
∴3t-3-$\frac{m}{t}$≥0在[4，+∞）上恒成立．
∴m≤3（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$在[4，+∞）上恒成立；
令h（t）=3（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$，t∈[4，+∞），
∴h_min（t）=36，
故m≤36，当m=36时，g′（x）不恒为0，满足题意．
∴实数m的最大值是36．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了转化思想与分类讨论的思想的应用．