Question

11．下列四种说法：
①命题“?x∈R，都有x²-2＜3x”的否定是“?x∈R，使得x²-2≥3x”；
②若a，b∈R，则2^a＜2^b是log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$b的必要不充分条件；
③把函数y=sin（-3x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移$\frac{π}{4}$个单位即可得到函数y=sin（-3x-$\frac{π}{4}$）（x∈R）的图象；
④若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与b的夹角为$\frac{2π}{3}$，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$．
其中正确的说法是①②④．

Answer 1

分析 ①利用命题的否定定义即可判断出结论．
②若2^a＜2^b，则a＜b，当a或b为负数时，log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$b不成立，若log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$b，利用对数函数的单调性即可得出a，b的大小关系．
③利用三角函数的平移变换即可判断出正误．
④由题可知，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1，再利用$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$即可得出．

解答 解：①利用命题的否定定义可知：正确．
②若2^a＜2^b，则a＜b，当a或b为负数时，log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$b不成立，若log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$b，∴0＜a＜b，∴2^a＜2^b．故②正确．
③把y=sin（-3x）的图象上所有点向右平移$\frac{π}{4}$，得到y=sin$sin[-（x-\frac{π}{4}）]$=$sin（-3x+\frac{3π}{4}）$，故③不正确．
④由题可知，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2 cos$\frac{2π}{3}$=-1，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性、三角函数平移变换、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．