Question

6．如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．设∠COP=θ（θ∈（0，$\frac{π}{3}$）），则△POC周长与角θ的函数关系式f（θ）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$θ+\frac{π}{3}$）+2，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出OC和CP，然后求△POC周长的表达式，利用两角和的正弦函数化简函数的表达式．

解答 解：由题意可得，在△POC中，∠OCP=$\frac{2π}{3}$，∠COP=θ，∠CPO=$\frac{π}{3}$-θ，OP=2，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．
由正弦定理可得，$\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{CP}{sinθ}$=$\frac{OC}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$，
∴CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
故△POC周长为f（θ）=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinθ+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．

点评 本题考查解三角形的知识，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．