Question

17．如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．则异面直线AC与DE所成角的正切值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由此能求出异面直线AC与DE所成角的正切值．

解答 解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，
∴∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．
设AP=BC=2，由已知，AC=EA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{7}$，
∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，DF=$\frac{1}{2}$，ED=2，cos$∠EDF=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴sin$∠EDF=\sqrt{1-\frac{2}{16}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，tan∠EDF=$\frac{sin∠EDF}{cos∠EDF}$=$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．