Question

7．已知函数$f（x）=\;{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），代入x=$\frac{π}{3}$，即可计算求值．
（Ⅱ）由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，可求-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的性质即可得解f（x）在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$上的最大值和最小值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵由已知$f（x）=\;{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}$=$\frac{1-cosx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$，…（3分）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx=sin（x-$\frac{π}{6}$），…（4分）
∴f（$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$…（6分）
（Ⅱ）∵-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，∴-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，…（9分）
当x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，f_min（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（11分）
当x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{2π}{3}$时，f_max（x）=1…（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数化简求值，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．