Question

17．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F为椭圆的右焦点，过点F任作一条直线l₁，交椭圆E于A，B两点，当l₁垂直于x轴时，|AB|=1．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F再作一条直线l₂，使得l₁⊥l₂，且l₂交椭圆于C，D两点，试问$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$+$\frac{1}{|CF|}$+$\frac{1}{|DF|}$是否为定值，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和椭圆的焦点弦长，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由F（$\sqrt{3}$，0），令直线AB的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及t的几何意义，可得$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=|$\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=4；由于l₁⊥l₂，可将α换为α+$\frac{π}{2}$，即可得到所求定值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由F（c，0），令x=c，可得y=±$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，a²-c²=b²，
解得a=2，b=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由F（$\sqrt{3}$，0），令直线AB的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入椭圆方程，可得（cos²α+4sin²α）t²+2$\sqrt{3}$cosαt-1=0，
可得t₁+t₂=-$\frac{2\sqrt{3}cosα}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{3}cosα}{1+3si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{1}{1+3si{n}^{2}α}$，
|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{12co{s}^{2}α}{（1+3si{n}^{2}α）^{2}}+\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}}$=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}$，
则有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=|$\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=4；
由于l₁⊥l₂，可将α换为α+$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{|CF|}$+$\frac{1}{|DF|}$=4．
即有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$+$\frac{1}{|CF|}$+$\frac{1}{|DF|}$为定值8．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．