Question

9．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F₁（-2，0），点B（2，$\sqrt{2}$）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；
（1）求椭圆C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．

解答 解：（1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）如图，设F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，
A（-$2\sqrt{2}$，0），
AF所在直线方程$\frac{y}{{y}_{0}}=\frac{x+2\sqrt{2}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，取x=0，得$y=\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴N（0，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$），
AE所在直线方程为$\frac{y}{-{y}_{0}}=\frac{x+2\sqrt{2}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴M（0，$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$）．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$），
半径r=$\frac{8{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$，
圆的方程为${x}^{2}+（y+\frac{2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}）^{2}=\frac{64{{y}_{0}}^{2}}{（8-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
即${x}^{2}+（y+\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{y}_{0}}）^{2}$=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$．
取y=0，得x=±2．
∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．